Finite Mathematik Beispiele

$20 x + 10 y = 780$ , $10 x + 20 y = 720$

Schritt 1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2

Subtrahiere $20 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y = 780 - 20 x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $10 y = 780 - 20 x$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y = 780 - 20 x$ durch $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{780}{10} + \frac{- 20 x}{10}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y}{10} = \frac{780}{10} + \frac{- 20 x}{10}$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{780}{10} + \frac{- 20 x}{10}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Dividiere $780$ durch $10$ .

$y = 78 + \frac{- 20 x}{10}$

Schritt 1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $10$ .

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Schritt 1.3.3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $- 20 x$ heraus.

$y = 78 + \frac{10 (- 2 x)}{10}$

Schritt 1.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$y = 78 + \frac{10 (- 2 x)}{10 (1)}$

Schritt 1.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 78 + \frac{10 (- 2 x)}{10 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 78 + \frac{- 2 x}{1}$

Schritt 1.3.3.1.2.2.4

Dividiere $- 2 x$ durch $1$ .

$y = 78 - 2 x$

Schritt 1.4

Stelle $78$ und $- 2 x$ um.

$y = - 2 x + 78$

Schritt 2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- 2$ .

$m_{1} = - 2$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 y = 720 - 10 x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $20 y = 720 - 10 x$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $20 y = 720 - 10 x$ durch $20$ .

$\frac{20 y}{20} = \frac{720}{20} + \frac{- 10 x}{20}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 y}{20} = \frac{720}{20} + \frac{- 10 x}{20}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{720}{20} + \frac{- 10 x}{20}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Dividiere $720$ durch $20$ .

$y = 36 + \frac{- 10 x}{20}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $20$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10 x$ heraus.

$y = 36 + \frac{10 (- x)}{20}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$y = 36 + \frac{10 (- x)}{10 (2)}$

Schritt 3.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 36 + \frac{10 (- x)}{10 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 36 + \frac{- x}{2}$

Schritt 3.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 36 - \frac{x}{2}$

Schritt 3.4

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.4.1

Stelle $36$ und $- \frac{x}{2}$ um.

$y = - \frac{x}{2} + 36$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 36$

Schritt 3.4.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} x + 36$

Schritt 4

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- \frac{1}{2}$ .

$m_{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Stelle das Gleichungssystem auf, um alle Schnittpunkte zu ermitteln.

$20 x + 10 y = 780, 10 x + 20 y = 720$

Schritt 6

Löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt zu finden.

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Schritt 6.1

Löse in $20 x + 10 y = 780$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere $10 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x = 780 - 10 y$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $20 x = 780 - 10 y$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $20 x = 780 - 10 y$ durch $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{780}{20} + \frac{- 10 y}{20}$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x}{20} = \frac{780}{20} + \frac{- 10 y}{20}$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{780}{20} + \frac{- 10 y}{20}$

$10 x + 20 y = 720$

$x = \frac{780}{20} + \frac{- 10 y}{20}$

$10 x + 20 y = 720$

$x = \frac{780}{20} + \frac{- 10 y}{20}$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.3.1.1

Dividiere $780$ durch $20$ .

$x = 39 + \frac{- 10 y}{20}$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $20$ .

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Schritt 6.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10 y$ heraus.

$x = 39 + \frac{10 (- y)}{20}$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$x = 39 + \frac{10 (- y)}{10 (2)}$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 39 + \frac{10 (- y)}{10 \cdot 2}$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 39 + \frac{- y}{2}$

$10 x + 20 y = 720$

$x = 39 + \frac{- y}{2}$

$10 x + 20 y = 720$

$x = 39 + \frac{- y}{2}$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$10 x + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$10 x + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$10 x + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$10 x + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$10 x + 20 y = 720$

Schritt 6.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $39 - \frac{y}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Ersetze alle $x$ in $10 x + 20 y = 720$ durch $39 - \frac{y}{2}$ .

$10 (39 - \frac{y}{2}) + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $10 (39 - \frac{y}{2}) + 20 y$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \cdot 39 + 10 (- \frac{y}{2}) + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $39$ .

$390 + 10 (- \frac{y}{2}) + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{2}$ in den Zähler.

$390 + 10 (\frac{- y}{2}) + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$390 + 2 (5) (\frac{- y}{2}) + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$390 + 2 \cdot (5 (\frac{- y}{2})) + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$390 + 5 (- y) + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$390 + 5 (- y) + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$390 - 5 y + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$390 - 5 y + 20 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Addiere $- 5 y$ und $20 y$ .

$390 + 15 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$390 + 15 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$390 + 15 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$390 + 15 y = 720$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3

Löse in $390 + 15 y = 720$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $390$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 y = 720 - 390$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $390$ von $720$ .

$15 y = 330$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$15 y = 330$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.2

Teile jeden Ausdruck in $15 y = 330$ durch $15$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $15 y = 330$ durch $15$ .

$\frac{15 y}{15} = \frac{330}{15}$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 y}{15} = \frac{330}{15}$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{330}{15}$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$y = \frac{330}{15}$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$y = \frac{330}{15}$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

Dividiere $330$ durch $15$ .

$y = 22$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$y = 22$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$y = 22$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

$y = 22$

$x = 39 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $22$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 39 - \frac{y}{2}$ durch $22$ .

$x = 39 - \frac{22}{2}$

$y = 22$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $39 - \frac{22}{2}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Dividiere $22$ durch $2$ .

$x = 39 - 1 \cdot 11$

$y = 22$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$x = 39 - 11$

$y = 22$

$x = 39 - 11$

$y = 22$

Schritt 6.4.2.1.2

Subtrahiere $11$ von $39$ .

$x = 28$

$y = 22$

$x = 28$

$y = 22$

$x = 28$

$y = 22$

$x = 28$

$y = 22$

Schritt 6.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(28, 22)$

Schritt 7

Da die Steigungen unterschiedlich sind, werden die Geraden genau einen Schnittpunkt haben.

$m_{1} = - 2$

$m_{2} = - \frac{1}{2}$

$(28, 22)$

Schritt 8